一、代数类课程体系
- 高等代数与解析几何
- 抽象代数
- 有限群表示论
- 李代数
- 数论（代数部分）
二、代数的发展
总述
- 在古埃及就记录了一元一次方程求解问题
- 丢番图：代数学重要人物，被称为代数学之父
- 花拉子米：提出了方程两边同时加上或减去一个相同的项，方程仍然相等。被称为代数学之父
- 中国：著名人物李善兰。它的主要贡献是翻译西方数学名著，如《几何原本》，创造了许多数学名词，这些名词到现在还在沿用。
一元一次方程的发展有两个方向，一个是一元扩展到多元，一个是一次扩展到多次。
一元扩展到多元
- 二元一次方程组的求解：行列式的方法几乎是莱布尼兹和关孝和同时在做的工作。利用行列式的方法解决了二元一次方程组的求解问题。
- 中国古代《九章算术》中也有三元一次方程组消元法的描述。给出了消元法的思想。这一成果要早1000多年
- 西尔维斯特提出了矩阵（Matrix）的概念。注意：西尔维斯特提出的是Matrix的概念，矩阵是李善兰发明的词。
- 凯莱：对两个二元一次方程组进行了变量替换，定义了矩阵乘法。矩阵乘法的定义是一个开创性的工作。但是矩阵乘法不满足交换律，此后，代数的世界不再是可交换的了。
一次扩展到高次
- 古巴比伦人记录了这样的式子：\(x-\frac{60}{x}=7\).古巴比伦人研究了一元二次方程问题，并给出了解答。一个一元二次方程可以改写成：\(x^2-sx+p=0\).古巴比伦人给出的解答是这样的：\(\frac{s}{2}=\frac{1}{2}(x_1+x_2)\) \(\sqrt{(\frac{s}{2})^2-p}=\frac{1}{2}(x_1-x_2)\) 这是解的二元一次方程。这个方程是很好解的。因此可以给出解的式子：\(x_1=\frac{s}{2}+\sqrt{(\frac{s}{2})^2-p}\) \(x_2=s-x_1\) 于是，讨论三次方程的解是不是可以构造一个三元一次方程组呢。
- 意大利数学家费罗，塔尔塔利亚，卡尔达诺研究了四次方程的问题。下面看一个恒等式：\((p-q)^3=-3pq(p-q)+(p^3-q^3)\) 这个恒等式改写一下就是：\((p-q)^3+3pq(p-q)-(p^3-q^3)=0\) 这是一个三次方程的形式，因此可以得到一个满足\(p-q\)的方程：\(x^3+3pqx-(p^3-q^3)=0\) 由于p-q已经是一个根，因此我们只需要解一个二次方程便可以解这个三次方程，二次方程求解已经解决，从而三次方程是可解的。
- 卡尔达诺的学生费拉里解决了四次方程的问题。他的主要工作是对四次方程配完全平方。对于四次方程：\(x^4+bx^2+cx+d=0\) 考虑：\((x^2-t)^2=(b-2t)x^2+cx+(d+t^2)\) 若右侧有完全平方项，当且仅当：\(c^2-4(b-2t)(d+t^2)=0\) 这是t的一个三次方程，三次方程可解，从而四次方程可解。
五次方程的可解问题
- 相关的著名人物：韦达，范德蒙，拉格朗日，阿贝尔，伽罗瓦。
- 韦达开创了字母符号体系，发现了韦达公式。为之后的工作做了铺垫。
- 范德蒙是最早开始探索的五次方程的解的人。二次，三次，四次方程的解法并不是统一的。范德蒙想统一解这些方程的方法。他发现了解高次方程最本质的东西，基本的思路源于古巴比伦人解二次方程的方法。古巴比伦人解二次方程时列的方程组中，第一个式子是根的和，第二个式子的系数一个是1一个是-1，这两个数其实是1的平方根。从这里出发，范德蒙列出了下面的方程组：\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} \\ x_1+wx_2+w^2x_3=? \\ x_1+w^2x_2+w^4x_3=? \\ w^3=1\end{cases}\) 这个方程组被证明是可解的。
- 后来，拉格朗日利用范德蒙的想法统一解决三、四次方程的解，发现五次以上方程很难解。
- 拉菲尼和阿贝尔：证明了一般五次方程不可根式解
- 阿贝尔：某些高次方程可解。某些五次方程是可以用根式解的。提出了阿贝尔群的概念
- 伽罗瓦：做出了开创性工作。提出了高次方程可解的充要条件。韦达和范德蒙的工作说明了根具有对称性。不同方程的根对称性不同。此外，他提出来刻画对称性。一个方程的根对称性强度预示着方程能不能用根式解。提出了群的概念来刻画对称性。将方程可解性转换为它所对应的群的结构是什么。从此以后代数学突飞猛进的发展。
抽象群论的具体化 将抽象的群具体地实现为矩阵。在戴德金和弗罗贝乌斯的通信中诞生了群表示论。
马凯的工作 正多边形和正多面体的对称群的所有不同的矩阵实现可用一个图来表现出来，这些图没别对应于一个单李代数。
代数课程体系
